Tag Archives: GC33W5K

De Noordpool is een zuidpool!

05/01/2013Materiaal, OverpeinzingenGC33W5KJan-Gerard

Waarom werkte mijn kompas gisteren niet? Een mogelijke verklaring…

In de categorie kip-ei problemen, komt bij mij regelmatig de vraag naar boven of de Noordpool een noordpool is of een zuidpool.

Een magneet bestaat (vrijwel altijd) uit een noord- en een zuidpool. Knip je hem in tweeën, dan ontstaan er twee magneten met ieder op zijn beurt weer een noord- en een zuidpool. Een kompasnaald heeft ook een magneetje in zich (dikwijls er onder bevestigd). Dat magneetje heeft dus ook en zuid- en noordpool.

Mijn vraag is eigenlijk of de noord- of de zuidpool van dat magneetje naar de noordpool wijst.

Immers, tegengestelde polen trekken elkaar aan. Dus een magnetische noordpool trekt een magnetische zuidpool aan. Als de Noordpool een noordpool is wijst dus de zuidpool van de magneet in het kompas naar het noorden.

Wat zoekwerk leert: de magnetische noordpool van een magneet wijst naar het Noorden. Deze kant van de magneet in een kompas is dus in de richting van de N bevestigd, het dikwijls rode deel van de naald. De Noorpool is dus een magnetische zuidpool.

Geen wonder dat mijn kompas gisteren in de war was, want dat was voor mij ook wel even slikken.

De vraag blijft welke lolbroek in het Nederlands “zuidpool” met een Z heeft geschreven, terwijl zowel vanuit het Oosten als het Westen de Z een N is.

Wijzen is onbeleefd

30/10/2011OverpeinzingenGC33W5KJan-Gerard

“Waar?” “Daar!”, en zij wees in de richting van het zuiden.
“Hoe ver?” “Twee uur gaans.” En hij ging op pad, met zijn gezicht naar de zon. Na precies twee uur zette hij zijn rugzakje neer, pakte er een appel uit, beet er een flinke hap uit, en ging op zoek.
Na ruim een uur gaf hij het op, pakte zijn rugzak weer op, hing hem over zijn schouders, en liep terug. Weer twee uur later kwam hij bij het bankje aan waar zij nog steeds op zat. “Die speld ben je kwijt. Ik zou maar een nieuwe gaan kopen.” En zonder verder wat te zeggen, liep hij terug naar zijn hooiberg.

Beetje sneu natuurlijk, maar je snapt wel waar het aan lag; “twee uur gaans” is natuurlijk wat vaag, en een beetje wijzen naar het zuiden, wat op zich een exacte richting is met onze huidige kennis, klinkt niet echt als een richtingsbepaling met meerdere decimalen.
Nee, we hebben tegenwoordig moderne middelen. Op korte afstanden voldoen een peilkompas en passen tellen (hoewel dat laatste natuurlijk ook in de tijd van de Neanderthalers werkte; maar ze wisten nog niet wat een meter was), en op de langere hebben we bijvoorbeeld GPS-en die een absolute plaatsbepaling leveren.

Wijzen

En zo zou je kunnen zeggen dat wijzen onbeleefd is, net als mensen met een kluitje het riet in sturen, van het kastje naar de muur, en het bos in zonder kompas of GPS en goede aanwijzingen en kaarten. Toch is wijzen heel handig, en dikwijls de beste optie. Wil je weten hoe je naar het station loopt? Je wordt niet blij als die behulpzame dame op straat je een coördinaat geeft, met wat letters en nog meer cijfers: 31 U 670765 5702726. “Daar heen, vijf minuutjes lopen” wil je horen!

Iets moeilijker wordt het als je een vlaggetje of doosje moet vinden, dat een eind verderop ligt, en niet zo makkelijk herkenbaar is als een station, van 300 meter afstand. Laten we het concreter maken: je wilt vanuit N 51° 25.854 E 005° 29.263 precies 1013 meter lopen, onder een hoek van 47° met het noorden. Dan kan het nog mis gaan omdat ik niet zei of je het noorden links of rechts of laat liggen, maar ik had N 51° 26.227 E 005° 29.902 voor ogen. Twee opties: je weet waar je bent (hoop je), op de kaart, en je hebt een gradenboog en schaalverdeling, zodat je kan uitpeilen op papier waar je doel ligt, er even van uit gaande dat je dat vervolgens ook in het echt kan vinden, of je hebt een goed kompas en een absolute stapgrootte, en je loopt er zo ongeveer als hier, in een rechte lijn naartoe. O, ja, je kan ook nog een projectie maken op je GPS, als je die hebt.

Als jet het goed doet, zit je er hooguit 8.85 [m] naast, want dat is de halve afstand tussen twee graden, op die 1013 meter afstand. Niet helemaal niks. Had ik 47,0° gezegd, dan wist je het nog zekerder: op minder dan een meter nauwkeurig. Of niet, want hoe nauwkeurig kan je precies 47 graden uitpeilen, of hoe lang kan je precies met de naald van je kompas op het streepje 313 lopen? En klopt mijn 47 wel, want die heb ik ook maar ooit, wellicht met dezelfde middelen, opgemeten.

Over dit soort dingen gaat dit artikeltje ongeveer. Lees verder!

Koersen

Ik moet altijd even nadenken, wat het verschil is tussen de Engelse termen bearing, course, en heading, en ook tussen het Nederlandse peiling en koers; een mooi woord voor heading kennen we niet, of het moets “voorliggende koers” zijn. Dus herhaal ik het hier even, dan onthoud ik het zelf vast beter.

Een peiling is de richting naar een punt. Op ieder moment. Op het kompas is het de richting van het punt waar je heen wilt, afgelezen als de nul van de kompasroos naar het noorden wijst. Dus als een punt zich pas oostelijk van je bevindt loopt de lijn naar dat punt vanuit het midden van de roos over de “90” heen. Als je dat punt peilt lees je 90° af: de peiling, of eng.:bearing. Loop je een stukje naar het noorden, dan verschuift de peiling naar een groter hoek (in dit voorbeeld).

De koers (eng.:course) is de lijn die je wilt volgen om ergens te komen. Dat lijkt het zelfde, maar de koers verandert in eerste instantie niet als je beweegt, en afwijkt van de koers. De peiling naar je doel verandert, en je “ligt niet meer op koers”, maar de koers blijft onveranderd. Tot je besluit en nieuwe koers te varen, lopen, vliegen, om bij het doel te komen. Dat mag, maar dat doe je niet meteen, want dikwijls is die koers niet voor niets gekozen. Als je een lijn op de kaart tekent, of denkt, is dat de koers. En die hoeft niet altijd direct naar het doel te lopen, bijvoorbeeld omdat daar een berg, een meertje of een eiland tussen ligt. Kortom, vaak is de koers slim gekozen, en niet de kortste, maar wel de snelste weg naar het doel. Met andere woorden, vaak wil je terug naar de koers als je er van afwijkt, en verleg je niet meteen zomaar de koers. Was je vanaf het begin af aan op koers gebleven, dan was de koers wat het kompas al die tijd aan had gewezen.

Tenslotte het Engelse heading (mocht je een mooie Nederlandse term hier voor kennen, onder aan deze pagina is ruimte voor commentaar): eigenlijk is dat waar je neus heen wijst, of je een boot, een vliegtuig, of een loper bent. Heeft dus niets met koers en peiling te maken, maar als je vooruit gaat, en een doel voor ogen hebt, komen ze vaak toch wel in de buurt. Het is de kompasrichting die overeenkomt met je eigen voorkant. Echter, niet altijd ga je ook die kant uit. Een vliegtuig met zijwind, een boot die verlijert, een loper met een scheve neus, allemaal gaan ze een ander kant uit dan waar hun neus heen wijst. Geen probleem als je weet wat de afwijking is.

Duidelijk?

Kompas

Ik heb al een paar keer “kompas” gezegd. Handig ding. In essentie is het een apparaatje met een wijzer, een pijl, een naald, die gemagnetiseerd is, en waarvan de magnetische zuidpool van een markering, een pijl of een kleur, is voorzien, die naar de Noordpool wijst, mits deze naald vrij kan draaien. Van alles wordt toegevoegd, vloeistof, spiegels, lenzen, om het kompas nog bruikbaarder te maken, maar de magnetische naald is essentieel. Doorgaans is er nog een roos, met een graden-verdeling die meedraait met de naald, of een schaalverdeling die stilstaat, waar de naald een waarde op aanwijst. Zo kan je ook nauwkeurig in andere richtingen dan het noorden of het zuiden gaan.

Meer…

Op dit moment ben ik even uitgeschreven. Maar er komt meer.

Waarom π en niet τ

11/07/2011OverpeinzingenGC33W5K, geocache, geocaching, korste route, pi, rekenen, sinterklaas, wiskundeJan-Gerard

Tijdens een rondje hardlopen schieten soms de vreemdste dingen te binnen. Dan ga ik ineens lopen rekenen, en kom tot de conclusie dat π zo gek nog niet is: τ hebben we in elk geval niet nodig, zoals in dit filmpje wordt gesuggereerd:

Ik liep een stuk (een forse taartpunt) tegen de klok in langs de Eindhovense ring, en bevond me in de buitenbocht. Ik kwam immers van buiten de ring, en was nog voor het oversteken rechtsaf geslagen, zodat ik op de ventweg linksom liep. De buitenbocht is om, dat weten we allemaal. Maar ja, het is wel een hele flauwe bocht, dus wat maakt het uit?
Ringwegeindhoven
Ik volgde een tijdje de ring, sloeg toen af met het centrum in mijn rug, om later weer terug te keren op de ring. Dit maal liep ik met de klok mee, want ik ging weer richting huis.

Op een gegeven moment passeerde ik een tunnel, en besloot onder de ring door te gaan, om verder over de binnenbocht te lopen: veel korter, toch? Maar ja, al die tijd dat ik onder dat tunneltje door liep (of anderszins overstak van buiten naar binnen naar buiten in de bocht) was ik geen meter verder de ring rond gekomen.

Zo kwam het dat ik me afvroeg: hoeveel kilometer moet je over een rondweg lopen, wil het de moeite zijn om de binnenbocht te nemen? (Vooropgesteld dat je aan de buitenkant begint.)
Stel je voor: je gaat in de buitenbocht staan, loopt naar de binnenbocht, en direct weer terug naar de buitenbocht -omdat je helemaal niet de rondweg wilde volgen-. Dan is het overduidelijk dat het niet loont. Loop je echter het hele rondje, of twee, of oneindig veel keer, dan is het zeker wel de moeite van het oversteken waard. De waarheid ligt ergens in het midden. Maar waar?

Ik herinnerde me een vraagstuk van de middelbare school, waarop afgaande ik mijn vraag eigenlijk wat anders moest verwoorden: Stel, ik heb een touwtje rond de wereld gespannen, en dat wil ik een meter optillen. Dan moet ik het touwtje wel wat langer maken (gegeven dat het niet uit kan rekken). Maar als ik een touwtje rond een bal span, en de lus een meter ruimer maak -dus met overal een meter tussen bal en touwtje-, moet ik dan het touwtje meer of minder langer maken dan het touwtje rond onze aardbol?

Het antwoord is: geen van beide. Evenveel dus. 6,282 meter -en een beetje- om precies te zijn. Het klinkt ongelooflijk, dat een lus rond de hele aarde maar een ruime 6 meter langer hoeft te worden om 1 meter boven het aardoppervlak te zweven, en dat het niet uitmaakt of die planeet een straal van ruim 6300 kilometer heeft, of 15 centimeter, maar het is waar.

De lengte l van een cirkel met een straal r (de straal van de aarde of van de bal) is $l = 2 \cdot \pi \cdot r$ . Als ik het touwtje overal een meter boven het aardoppervlak houd wordt de lengte $l_\textnormal{\'{e}\'{e}n meter boven de aarde} = 2 \pi(r_\textnormal{aarde} + 1 [m])$ , en als ik de lus een meter om de bal leg wordt zijn lengte $l_\textnormal{\'{e}\'{e}n meter rond de bal} = 2 \pi (r_\textnormal{bal} + 1 [m])$ .

Maar dat kan ik weer schrijven als $l_\textnormal{\'{e}\'{e}n meter rond de bal} = 2\pi r_\textnormal{bal} + 2\pi\cdot 1[m] = l_\textnormal{strak om de bal}+2\pi[m]$ . En dus heb ik $2 \pi [m]$ extra touw nodig voor de bal, maar omdat $l_\textnormal{\'{e}\'{e}n meter boven de aarde} = 2\pi r_\textnormal{aarde} + 2\pi\cdot 1[m] = l_\textnormal{strak om de aarde}+2\pi[m]$ geld dat ook voor de aarde.

Het maakt dus, volgens dezelfde redenering, niet uit of ik de rondweg rond een grote stad rond loop, of rond een kleine, maar het gaat om de hoek van de cirkelboog die ik volg. En dat is leuk, want dat betekent dat ik een vuistregel kan opstellen voor de beslissing of ik de ringweg oversteek of niet, afhankelijk van de grootte van de taartpunt (of het aantal graden dat ik de ringweg volg).

Hoeveel graden moet je over een rondweg lopen, wil het de moeite zijn om -buiten beginnend- de binnenbocht te nemen?

Maar dan is er nog iets: als ik nou een hele brede ringweg heb, met 6 banen heen en 6 banen terug, dan loont het natuurlijk veel meer de moeite om de binnenbocht te pakken, dan wanneer het een zandpad is. -Zou je denken.- Maar tegelijkertijd ben ik ook meer tijd, en meters, kwijt om van buiten naar binnen en binnen naar buiten te lopen, wat me weer geen hoek-voordeel oplevert bij mijn rondgang. Met andere woorden, ik maak wel meters, maar geen graden, en we hadden net vast gesteld dat het om dat laatste ging.

Weet je wat? We gaan het gewoon uitrekenen! De vraag wordt nu: hoeveel graden moet je ronde een punt lopen, wil het de moeite zijn om de binnenbocht te nemen?

Laat de breedte van de rondweg d [meter] zijn, en de straal r. En je loopt vanaf 0° tot aan hoek α. Voor de berekening gebruiken we even $\beta=2\pi\cdot\alpha/360^{\circ}$ , dus de hoek $\beta$ in radialen. De weg die je aflegt is dan $l_\textnormal{via de binnenbocht} = d+(r-d)\beta+d$ via de binnenbocht, en $l_\textnormal{via de buitenbocht} = r\beta$ . Het loont dan dus als $l_\textnormal{via de binnenbocht}<l_\textnormal{via de buitenbocht}$ , oftewel, als $d+(r-d)\beta+d<r\beta$ . Dat laat zich vereenvoudigen tot $2d+r\beta-d\beta<r\beta \Leftrightarrow 2d-d\beta<0$ , en dus $2d<\beta d \Leftrightarrow \beta>2$ . Met andere woorden, als ik meer dan $\alpha=\beta\frac{360^{\circ}}{2\pi}=360^{\circ}/\pi$ rond ga, kan ik beter oversteken. Dat is dus bijna 115° (114,5915590261647…)! Best veel als je het zo bekijkt. Bijna vier uur op de klok.

Onthoud dat goed: moet je meer dan één Pi-de deel van een taartpunt (een pie) rond een punt, neem dan voortaan de binnenbocht. En anders, ook al lijkt het om, kan je beter in de buitenbocht blijven.

Het maakt niet uit hoe groot de cirkels zijn, zowel de binnenbocht, als de buitenbocht niet. 115° is 115°. Maar ik ben er wel van uit gegaan dat je alleen dwars (radieel) over kunt steken, dus niet spiraalvormig van buiten naar binnen en van binnen naar buiten of anderszins schuin, maar alleen in rechte lijnen van en naar het centrum.

Grappig vind ik het wel dat het antwoord niet $\frac{1}{3}$ e is of zo, maar $\frac{1}{\pi}$ e. En dat is nou het leuke: eindelijk eens een redenering waaruit blijkt dat pi helemaal niet zo’n gek getal is. Anders had hier het $\frac{1}{2}\tau$ -de deel van een cirkel gestaan, want $\tau=2\pi$ , en dan is een $\pi$ -de toch veel mooier.

Je kan je trouwens nog even af gaan lopen vragen of het uitmaakt of de betreffende rondweg rond is, ei-vormig, onregelmatig, met rechte stukken er in, maar dat hoeft niet lang te duren want hier is het antwoord: Nee! Zo lang de binnen- en buitenbocht maar overal even ver uit elkaar liggen, en de weg overal convex is, gaat bovenstaande altijd op.

Een extreem brede rondweg maakt de dingen wel eenvoudiger.

Je kan het zelfs nog eenvoudiger bekijken. Ga eens uit van een extreem brede rondweg, van de rand (straal is $r$ ) tot aan het midden van de cirkel (eigenlijk is de hele stad asfalt). Dan is de die weg $2r$ lang.
Een complete cirkel daarentegen heeft een omtrek van $2\pi r$ , en dus moet ik daar een $\frac{1}{\pi}$ ^e deel van hebben om op een cirkelboog van $2r$ uit te komen, want $\frac{2r}{2\pi r} = \frac{1}{\pi}$ .
Geldt dat dan ook voor een weg van beperkte breedte? Ja! Want als ik bij deze specifieke hoek net zo goed om kan lopen als af kan snijden, kan ik ook evengoed en “hap” ter grootte van dit cirkelsegment uit een groter cirkelsegment nemen. En de resterende vorm is weer een stukje rondweg, met een even lange binnen- als buitenbocht. Q.E.D.

JG-O

J-G's Oriënteringslopen/Orienteering site